23 年来首次突破，陶哲轩赵宇飞学生联手攻下组合数学难题

让组合数学领域最大难题之一 —— 从无序中证明有序，取得了 23 年来的重大突破。

这个问题有多难？

用知名华裔数学家、MIT 副教授赵宇飞本人的话说，是“我不会建议任何学生去做这个课题”。

有意思的是，这甚至还是个“意外”收获：

陶哲轩弟子、刚上研究生二年级的 James Leng（以下简称小冷）原本试图延续另一位菲尔兹奖得主 —— 蒂莫西・高尔斯的理论研究。

但搞了一年多，他几乎是“一无所获”。

就在一筹莫展之时，他遇上了赵宇飞的两位天才学生 —— 本科期间就联手发了十几篇论文的 Ashwin Sah（以下简称小萨）和 Mehtaab Sawhney（以下简称索哥）。

三人一碰头，顿时灵光乍现：小冷这研究思路用到塞迈雷迪定理上，那说不定真能整出点新进展。

几个月后，都还在攻读博士学位的三个年轻人真的做到了 ——

23 年首次突破组合数学难题

小冷、小萨和索哥的这项研究，是组合数学领域的一大难题，是对塞迈雷迪定理的进一步研究。

塞迈雷迪定理由 2012 年阿贝尔奖得主、匈牙利数学家塞迈雷迪・安德烈（Szemerédi Endre，注：匈牙利人的习惯是姓前名后）于 1975 年证明，其中说到：

若一个整数集 A 具有正的自然密度，则对任意的正整数 k，都可以在 A 中找出一个包含 k 项的等差数列。

所谓具有正自然密度，就是当 n 趋于无穷时，A 与 1,2,…,n 这个数列的交集中元素个数与 n 的比值大于 0。

比较著名的反例就是 2,4,8… 这样的等比数列，它们被认为在数轴上“过于稀疏”，不具备正自然数密度。

这个理论的猜想由两名匈牙利数学家埃尔德什・帕尔（Erdős Pál）和图兰・帕尔（Turán Pál）在 1936 年提出。

显然对于 k=1 和 2 的情况，这个结论毫无疑问是成立的，k=3 的情况则在 1953 年由英国数学家克劳斯・罗特证明。

到了 1969 年，塞迈雷迪用组合数学方法证明了 k=4 的情况，直到最终证明该结论对任意 k 均成立。

后来，又有数学家利用遍历理论、傅里叶分析等其他方法证明了这一结论。

这也让陶哲轩为之感慨，还把该定理的众多证明称为“罗塞塔石碑”，因为它们连结了几个乍看起来完全不同的数学分支。

但总之，塞迈雷迪定理的证明并不是一个终点，而且还开启了新的讨论。

塞迈雷迪定理还有另一种表述形式 ——

若在正整数 1-N 中取一个子集，使得对于某一 k 值，在该子集中找不到长度为 k 的等差数列；

则当 N 趋近于无穷时，该子集的大小 r_k (N) 与 N 的比值趋近于 0。

不过这个比值趋近于 0 的速度究竟是怎样的，仍然是一个未知数，也就成了后续这几十年的研究课题。

前面提到，有人用傅里叶分析方法给出了塞迈雷迪定理的新证明，这个人就是 1998 年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西・高尔斯（Timothy Gowers）。

更重要的是，高尔斯同时给出了 r_k (N) 与 N 比值的上界，即该比值下降的速度不会慢于某个特定的函数。

这个函数长这样：

此后的 20 多年来，不断有人针对具体 k 值，对 r (N) 的范围给出了更精确的上界。

比如在 2017 年，陶哲轩和英国数学家本・格林（Ben Green）一起给出了 k=4 时的新上界。

然而，对 k 取任意值的情况一直未有新的进展，直到这次研究的出现。

2022 年，正在加州大学洛杉矶分校（UCLA）读研二的小冷开始研究起了高尔斯的理论。

不过他脑海里的是高尔斯提出的几个技术问题，并没有想到塞迈雷迪定理。

一年很快过去，小冷没有得到任何成果，但他的研究引起了小萨和索哥的注意。他们意识到，小冷的研究可能有助于在塞迈雷迪定理上取得进一步进展。

于是三位年轻的数学家走到了一起，并在几个月之内就想出了 k=5 时更精确的上界。

直到今年，三人又把这一结论推广到了 k 为任意取值的情况，成为了 23 年以来在这个问题上最重大的突破。

证明的核心在于应用了高尔斯 U^(k+1) 范数的逆定理，这是一个与傅里叶分析相关的高级工具，它提供了一种衡量函数在某种意义上接近于零的方法。

该逆定理也是由三人发现的，用了足足 100 页的论文进行阐述。

其中指出，如果一个函数在范数意义上足够大，那么它必然与某些具有特定结构的序列相关联，这些序列在数学上被称为“结构性对象”。

利用这个逆定理，作者们将问题从原始的整数集合，转移到了具有特定代数结构的 nilmanifolds 流形上。

通过深入分析这些流形上的 nil 序列，作者们实现了对这些序列在整数集合上变化的控制。

然后，他们通过对集合进行分解并运用密度增量策略，逐步增加不包含 k 项等差数列的子集密度，直到达到某一阈值或无法继续增加。

经过迭代这个过程，作者们证明了存在一个足够大的子集，其密度远高于之前的结果，实现了 k=5 时结论向着更高 k 值的推广。

陶哲轩赵宇飞的天才学生们

三位作者中，小冷（James Leng）目前就读于加州大学洛杉矶分校（UCLA），师从菲尔兹奖得主陶哲轩。

他的主要研究方向是算术组合学、动力系统和傅里叶分析。

而小萨（Ashwin Sah）和索哥（Mehtaab Sawhney）都是 MIT 副教授赵宇飞的学生。

小萨其人，不可谓不是一位“天才少年”。

他是 2016 年国际奥林匹克数学竞赛（IMO）金牌得主，2018 年还获得过首届阿里巴巴全球数学竞赛银奖。

刚上大一，小萨就跑去听了赵宇飞研究生级别的组合数学课。这迅速引起了赵宇飞的注意：

尽管他只是大一的学生，但很显然，他已经掌握了这门课程。

就在本科期间，小萨已经有 20 多篇数学论文在手 —— 并且他只用了两年半时间就从 MIT 本科毕业了。

其中，还包括在拉姆齐数方面的重大突破：给出了拉姆齐数的新上限，被认为是“使用现有研究线索可以获得的最佳结果”。

索哥（Mehtaab Sawhney）比小萨高一年级，他同样在本科期间就参与了赵宇飞的组合数学课程。

打从本科起，索哥和小萨就是彼此的科研搭子，关系密切到索哥主页列出的 70 篇论文里，有 60 篇都带小萨的名字。

而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价就是：

（MIT）的本科生研究有着悠久的历史和传统，但在论文的质量和数量上，都达不到 Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 的水平。

目前，索哥已经率先博士毕业，获得了哥伦比亚大学的教职，还在今年年初被任命为克莱研究员。

两位老友的合作仍在继续，这也令外界感到期待。他们的导师赵宇飞是这样说的：

他们的非凡之处在于总能理解极具技术挑战的事物并加以改进。

很难用语言概括他们的整体成就。

参考链接：

• [1]https://arxiv.org/abs/2402.17995

• [2]https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/

• [3]https://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di%27s_theorem

本文来自微信公众号：量子位（ID：QbitAI），作者：克雷西、鱼羊，原标题《陶哲轩赵宇飞学生联手攻下组合数学难题，23 年来首次突破》